教研成果分享
基于数的认识建构小学数学运算一致性教学研究
——以“小数乘整数”教学为例
□合肥一六八玫瑰园学校东校  崔怀飞  郑朝晖
数学运算一致性是小学数学教学中的重要内容之一，它涉及到数的概念的理解和应用。学生对数与运算的关系理解不够深刻，缺乏对一致性的认识。通过研究小学数学数与运算一致性的教学，教师应提出相应的教学方法，以期能够更好地帮助学生掌握数学知识。
一、 从数的认识谈起
数，是用于量化、排序、测量和表示数量的一种符号。在探索数学的奥秘之旅中，对“数”的理解无疑是打开大门的钥匙。
从苏教版教材在认识整数（主要指自然数）、分数、小数时各有其特点，但从情境问题设置来看都是基于学生对数的认识，在教学内容的设计上也体现对数的认识的整体性和一致性。虽然数的意义不尽相同，但对于数学而言，这些数的表达是具有共性的，即借助计数单位的表达，都是“多少个计数单位”的述说。从运算算法的角度而言，所有运算都可以还原成计数单位与计数单位运算、计数单位上的数字（本质上是计数单位的个数）与计数单位上的数字运算，加法口诀、乘法口诀是所有算法的基础。
二、数的运算一致性的内涵
《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：数的运算教学应注重对整数、小数和分数四则运算的统筹，让学生进一步感悟运算的一致性。认识整数、分数、小数在表述上一致性的，都是借助“多少个计数单位”。对于理解整数、分数、小数的加减运算都要在相同计数单位下进行，感悟加减运算的一致性也更加方便。加法计算也就多少个相同单位的累加，乘法是加法的简便计算，两者是数学运算的基础。
（一）加减法运算的一致性
整数的加减法竖式笔算要求相同数位对齐，再依次计算，其实也就是把数看作不同的计数单位组成，相同的计算单位进行加减运算。这一点类似于中学的“合并同类项”，字母和次数不变，系数相加减。小数的加减法运算可以基于整数运算的算理、算法，也是将其看作相同计数单位的加减，与整数的运算保持了一致性。
（二）乘除法运算的一致性
乘法是加法的简便运算，乘法的概念首先通过整数乘法引入，随后扩展到分数和小数乘法。在理解乘法运算时如仍将其看作相同加数的累加，那么在数的运算中也将无法延伸。在建构乘法的算理、算法时依然可以依托计数单位，把数拆解成不同的计数单位组成。归纳整数、分数、小数乘法运算，都可以是计数单位乘计数单位，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘，得到新的计数单位上的新的数字。
三、小数乘法运算一致性的教学实践
数的运算重点在于理解算理、掌握算法，数与运算之间有密切的关联。教学要基于真实的情境，使得学生体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性。学生经历由数量到数的形成过程，理解和掌握数的概念，在探究过程中算理和算法要基于数的概念渗透运算的一致性。在经历探索过程中感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力。
（一）小数的意义是构建小数乘法运算一致性的基础
苏教版教材在处理小数教学上，把内容安排的相对集中一些，主要编排在五年级上册，包含“小数的意义”“小数的加减”以及“小数的乘除”。这部分内容在数和数的运算知识序列中，具有不可忽视的重要地位。这部分内容的学习，能使学生原有的相对封闭的“数和数的运算”的认知结构得到实质性改组，体会到“数和数的运算”是一个由低级到高级不断发展的开放系统，是一个连续的过程。笔者结合“小数乘整数”教学，引导学生建立数与运算的联系，使其进一步感悟运算的一致性和整体性。
小数的意义是建构小数乘法运算一致性的基础，也是对整数“计数单位”的延伸。在认识一位小数、两位小数和三位小数的过程中是将单位“1”平均分得到10份、100份、1000份。
从一位小数意义的精细刻画，到两位小数意义的验证推理，再到三位小数的类推迁移。从简单到复杂，学生经历了模型的建构过程，感受了数的概念的一致性，直观认识小数的“计数单位”，学生在学习小数乘法过程中也易类比整数乘法和分数乘法，进而感知运算的一致性。
（二）“小数乘整数”教学环节
1.谈话导入课
出示例题的情境图，引出小数乘整数的计算问题。
师：从图中你能知道什么？要求“夏天买3千克西瓜要多少元”。你会列式吗？
生1：从图中可知1千克西瓜0.8元，0.8+0.8+0.8。追问：还有不同方法吗？
生2：0.8×3。
师：观察这条算式和原来学习的算式有什么不一样的地方？（揭示课题）
2.探究算法
提出问题：能用你喜欢的方法计算吗？
生1：3×8=24（角），我的想法是把0.8元换算成8角，再算8×3=24(角)，24角就是2.4元。
生2：0.8元=元，3×=（元），我的方法是3×=3×8×==2.4（元）。
师：还有其他方法吗？
生3：我的方法是画图。一个正方形表示1元，平均分成10份，每份是元，8份是元，即0.8元，3个0.8元相加是2.4元。
师：他的方法如何，谁来评价一下？
生3：我先自己评价一下，我这个方法感觉不够简便。
生4：我有补充，如果是30个0.8相加就会很麻烦，乘法是求几个相同加数和的简便运算，我认为计算0.8×3更加方便。
师：没错，乘的整数比较小，这种方法比较好算，如果乘的整数比较大，这种方法就比较麻烦了。
师：还有其他方法吗？
生3：我的方法是0.8+0.8+0.8=2.4（元）老师追问：你是怎样想的？
生3：乘法是求几个相同加数和的简便运算﹐可以将0.8×3改写成0.8+0.8+0.8。
师：她是根据乘法的意义把小数乘法转化成求几个相同小数相加的和。这样新知就转化成旧知。谁来评价一下这种方法？
生4：这个方法感觉不够简便，比如说0.8×24，就要加24个0.8，太麻烦了。
师：对，如果乘的整数比较小，这种方法比较好算，如果乘的整数比较大就比较麻烦了。怎样计算0.8×3呢？
生5：0.8的零不看，先算8×3=24，然后点上小数点就是2.4。
师：这样计算的道理是什么，谁能补充？
生6：0.8是8个0.1 ，0.8×3可以表示8×0.1×3=24个0.1，也就是2.4。
师：说的真完整，我们不仅会算，还要把道理说清楚。将0.8的小数点遮住不看，这样小数乘法就转化成整数乘法，计算起来简单多了。
四、结束语
小学数学运算一致性的教学是一个系统的过程，它要求教师运用多种教学方法，帮助学生构建起对数学运算一致性的深刻理解。这不仅涉及到数学知识的传授，更包括了逻辑思维、问题解决等多方面能力的培养。