不等式证明的方法探讨 从他律到自律,从接受到养成 小学思想品德教学如何凸显学生的主体性 培养学生课外阅读兴趣的几点做法
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第78期  总第141期  2019年03月15日  星期五
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不等式证明的方法探讨
来源:本站原创 作者:admin 日期:2019-03-15 19:37

 □金寨县现代产业园区实验学校  李  成

不等式的证明是数学学习中的重点 ,本文综合了不等式证明常用的一些方法,加以归纳。
一、代数型
代数型的证明方法包括求差法、求商法、分析法、综合法、反证法五种常用的基本方法。求差法是证明不等式常用的基本方法之一,其原理为:若A-B>0则A>B,若A-B<0则A<B,反之亦然。求商法也是证明不等式的基本方法之一,若A、B是正数且A≥B,则     ≥1,
若A≤B,则     ≤1。反之亦然。
分析法是假设不等式成立,利用不等式的基本性质和条件,逐步推演、变形,最后得到一个简单明显成立或已证明成立的不等式,而推证又可逆,就可以判定不等式成立。
综合法是从已知条件出发,逐步推演到所证不等式成立的方法。反证法是从否定结论出发,经过推演,引出与已知条件或已证明成立的命题矛盾,从而证明不等式成立的方法。
在碰到不等式证明题时,最先考虑的应是代数型。当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用求差法。当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用求商法。不等式证明难度较大时,需分析法和综合法结合。当证明的不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”“至少”“不可能”等词语时,就可以考虑用反证法。
二、函数型
函数型的不等式证明方法主要包括判别式法、换元法、单调法和有界法。通过二次函数、三角函数的性质来进行证明。
判别式法的基本思想方法是找到与不等式与之相应的二次函数,结合二次函数的图像性质,利用判别式,就可以解决比较复杂和有一定难道的不等式的证明。
换元法常见的有三角换元、均值换元、设差换元等,通过换元法达到化繁为简的目的。
函数的有界法常涉及三角函数中的正、余弦函数使不等式获得证明。
函数单调法是用函数的观点通过所证不等式找出密切相关能应用得上的单调函数,利用函数值的大小关系来证明不等式。
三、数列型、导数型、构造型
数列型的不等式证明方法主要是放缩法和数学归纳法。放缩法是根据不等式的传递性,将不等式的一边适当地放大或缩小,使不等式变得明朗化,从而证明原不等式成立。数学归纳法是证明与自然数有关的不等式有效方法。
在遇到关于数列的不等式证明时,首先考虑的就是放缩法或数学归纳法进行证明,是证明较繁的不等式较适宜的方法。
导数型就是用求导的方法来证明不等式,是不等式证明的又一种重要方法,导数型的证明方法是很重要的一种不等式证明方法,它主要应用于建立函数式,再通过求导来达到证明的目的。
构造型,就是通过联想,构造新的数学形式,使所求的问题发生形式上的转化,利用已知的数学知识,合理而直观地解决问题。构造型主要包括四种:构造数列、构造复数、构造图形、构造函数。
要证明一个关于自然数的不等式,可以构造一个数列,然后设法证明数列是单调数列并进而说明数列大于等于0或1,且、均为正值,最终得出所要证的不等式。构造复数证明不等式的思路是:根据待证不等式和已知条件构造复数,然后代入复数模的不等式中,再把模的不等式化为无理不等式或线段不等式。
构造出相应的几何图形,将题设条件及数量关系直接在图形中得到体现,使条件与结论的关系明朗化,就能很快揭露出不等式的问题的内在实质。关键是把不等式由图形表示出来。
构造函数是解决数学问题常用方法和技巧,也是函数应用的一个重要方面。我们可以根据题设条件及要证的不等式的构造特点,构造一个函数,然后利用函数的性能,使原不等式得证。
证明不等式的方法灵活多样,本文主要介绍了五种不同类型的不等式证明方法,让大家可以根据相应的题型,有选择性的应用到不等式的证明题中,以达到证明的目的。
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