浅析新媒体新技术在数学教学中的应用 借助数形结合培养学生解决问题的能力 巧用模型解答排列组合问题
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第149期  总第232期  2022年12月28日  星期三
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巧用模型解答排列组合问题
来源:本站原创 作者:admin 日期:2022-12-28 16:57

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巧用模型解答排列组合问题
□合肥百花中学(寄宿制校区)  胡中祥
排列组合问题是富有趣味的一类题目,因为不同的人往往有不同的思路。比如贝特朗的几何概率悖论:在圆内作一条弦,求其弦长超过该圆的内接正三角形边长的概率。不同人有不同的解答,且都合理,趣味无穷。
题文:如图4×4的方格,求A到D的最短走法(一步可以走一格、两格或三格,拐弯可连续。如到C点可以一步一格走两步,也可一步拐弯走两格到达)。
笔者认为要想排列组合不出错,必须思路清晰,最好的方法就是归纳模型,套用模型去解。比如捆绑、插空、整数解、路灯、街道、楼梯、错拿、圆桌、涂色等。下面我介绍如何用街道和楼梯模型秒破这类题。


街道模型
如图所示,m×n的方格,从A走到B,一步走一格,要使总的步数最少,走法有多少种?
分析:考虑步数最少的走法时,每一步只能往上或往右走,从A到B一共要走m+n格,其中m个向上,n个向右,考虑在m+n个位置中选取n个向右,则剩下均向上,这样就完成最短的走法,有Cm+n=Cm+n种走法。


楼梯模型
一层楼有n级阶梯,可一步跨一级或两级,有多少种走法?
很多人用不定方程的整数解,然后“插空”解,这样可以,但是当数字大、可跨级数多时,极易出错,难以操作。笔者介绍一种类似斐波那契数列的构造法,假设到达第n级阶梯的方法有an种,可知a1=1,a2=2,a3=3。最后一步,可从第n-1级走一级,也可从第n-2级走2级,到达第n级,故an=an-1+an-2(n≥3),这样an的通项就可求出,在此不阐述了。
若一次可跨一、二、三级,易知b1=1,b2=2,b3=4,bn=bn-1+bn-2+bn-3(n≥4)。
据此可以已知推到n级阶梯,可以走一级、二级……m级的走法,常用跨一、二级记为{an},跨一、二、三级记做{bn},如下:
一级或二级
{an}:a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,a6=13,a7=21,a8=24,a9=55,a10=89……an=an-1+an-2(n≥3)
一级或二级或三级
 {bn}:b1=1,b2=2,b3=4,b4=7,b5=13,b6=24,b7=44,b8=81,b9=149,b10=274……bn=bn-1+bn-2+bn-3(n≥4)
例题
例题1:某城市东西5条街道,南北6条街道,一个人在A点,现在他想到B点购物,则最短走法有多少种?
分析:C11=462种。
例题2:一堆火柴有13根,每次可以取出1到3根,有多少种方法取完?
分析:类比一个12级楼梯,一级放一根火柴,一次跨几级就捡几根,答案是b12=927种。
例题3:小区一栋小矮层,共三楼,每层15个台阶。一个人前三分之一一步可跨一个、两个或三个台阶,后三分之二一步可跨一个或两个台阶,一共有多少种走法?
分析:三楼共2×15=30个台阶,前10个走完有b10种走法,后20个走完有a20种走法,故共有b10×a20=274×10946=2999204种走法。
例题4:将文章开篇题目条件改为:一步可以走一格或两格。
分析:分成两步考虑:
1:A到D最短走法为C8=70条。
2:将每一条看作一8级楼梯,则有a8=34故有C8a8=2380种。
注1:此题有很多错误答案,其中有两个经典错误。
   一:列举叠加。
   二:对称相乘。
注2:3×3的网上和资料上也有很多错误答案流传,现将正确的列出。
一步:C6=20种。
一步或两步:C6a6=260种。
一步、两步或三步:C6b6=480种。
注3:由此可以算出开篇那道题目答案:C8b8=70×81=5670种。
最后我原创一道题来结束此文:


有一天笔者在毛坦厂镇规划局见到镇规划图大致如图所示,现在我在A处,要到毛坦厂中学的B处上课,想路上经过C处快递点取一个快递,在到C之前可以一步跨1个、2个或3个方格,拿到快递后就一次跨1个或2个方格了,则到达学校的最短走法有多少种?
答案: C7b7×C8a8 =3665200。

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