学 科一见
说说数感和量感
□东至县实验小学  祝丽娟
  合肥一六八玫瑰园学校  郑朝晖
2021版课程标准目标明确，立足学生核心素养发展，集中体现数学育人价值。新课标小学阶段将原来提出的10个核心词，扩展为11个核心素养，新增了量感，为区分小学和初中的不同侧重点，将推理能力、数据分析观念和模型思想改为推理意识、数据意识和模型意识。并且详细描述了核心素养的主要表现及其内涵。
数量作为数学的主要研究对象，经常会被一起提及。很多教师在教学数的认识时，会将培养数感作为主要目标，也会有很多教师同时提出培养数感和量感。数的认识是不是一定要培养量感呢？
曹培英教授在《跨越断层，走出误区：数学课程标准核心词的解读与实践研究》一书中，提到数感的例子。他结合两个课例“100以内数的认识”和“1000以内数的认识”中数100颗黄豆和估1000张纸的厚度的例子，以及有位教师教学“整万数的认识”捧着100万元钱的例子，指出了执教教师“数感”与“量感”混淆的问题。那么，数感和量感具体是指什么，有什么区别呢？
数感和量感的主要表现及其内涵
数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。能够在真实情境中理解数的意义，能用数表示物体的个数或事物的顺序；能在简单的真实情境中进行合理估算，作出合理判断；能初步体会并表达事物蕴含的简单数量规律。数感是形成抽象能力的经验基础。建立数感有助于理解数的意义和数量关系，初步感受数学表达的简洁与精确，增强好奇心，培养学习数学的兴趣。
量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。知道度量的意义，能够理解统一度量单位的必要性；会针对真实情境选择合适的度量单位进行度量，会在同一度量方法下进行不同单位的换算；初步感知度量工具和方法引起的误差，能合理得到或估计度量的结果。建立量感有助于养成用定量的方法认识和解决问题的习惯，是形成抽象能力和应用意识的经验基础。
数感和量感的区别
数感是对数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。数感感悟的是数的大小和数量的多少以及数的顺序，如数的意义和组成；数量之间的关系，如大小关系、相差关系、倍比关系、变化规律等等；以及运算结果，能基于数学或现实检验结果的合理性。
量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。量感感悟的是事物的可测量属性，如长度、面积、质量等，知道要用小单位度量大单位，统一度量单位，会根据实际选择合适的单位进行度量，直接度量得到度量的结果或者通过推测得到度量的结果，感悟它们之间的大小关系，会进行单位换算。传统度量主要针对几何概念，但现代度量范围已扩展到其他领域。
数感主要是对数的感悟，量感主要是对量的感知。不管是几何度量还是数的度量，其结果最终都是用一个数来表示度量结果。史宁中教授在《为什么要强调量感》一文中讲到：数感和量感的本质都是数的表达。谈数感时，可以把数量中的后缀量词（计量单位）去掉，如一匹马、两头牛、三件衣服分别表达为1、2、3，在形式上去掉数后面的量词，用符号表示数。这里的数主要是表达个数，把数后面的量词去掉，这就是一个抽象的过程，使得数具有了一般性。数学研究的问题要脱离现实背景，只剩下数和数量关系、图形和图形关系。谈量感时，计量单位不可以去掉。有的运算是保留单位的，有的运算是不保留单位的，如路程=速度×时间、总价=单价×数量这两个乘法模型是不一样的，总价=单价×数量中总价和单价的单位是一样的，路程=速度×时间中单位还要相乘。因此，数感表达的数与量感表达的数是不一样的。
这样说来，是不是可以这么理解：量感中的数一定要带单位，而数感的培养是可以不需要带单位的？如“1000的认识”，如果让学生用计数器表示数，理解数的意义和组成，那是在讲数感；如对“100万”的认识，如果让学生估计100万元钱有多少，那就是在讲量感。
再回到曹培英教授书里的话：培养数感难免会牵涉到量，但培养数感不宜过多依赖量，尤其是不宜选择特殊的量，豆、纸币、纸的量感不是人人都需要建立的。
无论是整数还是分数、小数都可以带上单位表示数量，也可以不带单位用来表示两个数量的关系。也就是说，一切实数，在应用时，都是有量纲、无量纲两种情况并存。因此，培养数感也不是只有“联系量”一条路径。